Caída libre parabólica y casi-parabólica
Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:
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![y(x) = h_0 - \delta \left[\frac{x}{\beta\delta}-\ln \left(1-\frac{x}{\beta\delta} \right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = gm^2/k_w^2\\ \beta = V_xk_w/mg\end{cases}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcBrhDrXPdQ1ZrpB9AySZo5LaZpcC8f_bmXAdDVcCvGObm8Fb7nsrHZczVing2hxfCE8ucyt14d_epHVBhayTcsDe2bF4sLKWNR_XUSHz1YPnLWeK50AxCa_Xke8ZJhBFK_B_1VBZCfd6hRKu6Tg=s0-d)
Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:
La trayectoria viene dada por:
![y(x) = h_0 - \delta \ln \left[\cosh \left( \frac{e^{x/\delta}-1}{\beta}\right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = 1/C_w\\ \beta = \sqrt{g/(C_wV_x^2)} \end{cases}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0tIZG5gDNWwVPoxxuQCEwhJeiBq21Te_twSUqHVD0TNMKzvHc_bPo2_8g7gfK5fpZWSZcpitfaxVr96DEKeaIDiaw1ioGAQm26AJi3MZm08BZcpb2ARj0PV2QJ6UO180XL2IgV36yetbigJg84w=s0-d)
Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro β para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud δ).
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